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最新-51不定积分的概念与性质-PPT文档资料

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第五章 不定积分 ? 微分法: F ( x ) ? ( ? ) ?? 积分法: ( ? ) f( x ) 互逆运算 §5.1 原函数与不定积分的概念 一、 原函数与不定积分的概念 二、 不定积分的几何意义 三、不定积分的基本性质 引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 F ? A sin t的作 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度 v (t ). A F 解 根据牛顿第二定律, 加速度 a ( t ) ? ? sin t m m A t, 求 v ( t)?? 因此问题转化为: 已知 v?(t) ? sin m 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F ? ( x ) ? f ( x )或 则称 F (x) 为f (x) d F ( x ) ? f ( x ) d x , 在区间 I 上的一个原函数 . A A A t ?3 ,? 如引例中, sin t 的原函数有 ? cos t , ? cos m m m 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 结论 如果函数 f ( x ) 在某区间上连续 , 则在此区 f ( x ) 的原函数一定存在 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 定理 5 . 1 如果 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函 , 则 F ( x ) ? C 也是 f ( x ) 的原函数 , 其中 C 为任意常数 . 这说明 ,如果 f( x ) 有一个原函数 ,那么 f( x ) 就有无穷多 . 定理 5 . 2 如果 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函 , 则 它们的差 F ( x ) ? G ( x ) 为常数 . 这说明 ,G (x) 与 F (x) 只相差一个常数 . 因此 , 当 F ( x ) 为 f( x ) 的一个原函数时 , 一方面 F ( x )? c 都是 f( x ) 的原函数 , 另一方面 f( x ) 的其它原函数都可以 示成 F ( x )? C . 当 C 为任意常数时 , 表达式 F ( x ) ? C 就可以表 f ( x ) 的任 一个原函数 . f ( x )的全体原函数所组成的 集合 , 就是函数族 ? ? F ( x ) ? C ? ? ? C ? ?? 定义 5 . 2 设 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函 , 则 f ( x ) 的全 原函数 F ( x ) ? C ( C 为任意常数 ) 称为 f ( x ) 的 不定积分 , 记为 ( x ) dx , 即 ?f C 称为积分常数不可丢 ! ( x ) d x ? F ( x ) ? C (C ?f 为任意常数 ) — 积分号; ? 2 例 1求 ? x dx f ( x) — 被积函数; f(x ) d x — 被积表达式. x— 积分变量; 3 3 x x 2 ??x x2的一个原函数 . 解 由于 ( ) , 因此 是 3 x3 3 2 x ? ?C ? dx 1 例 2 求? dx 3 x 1 ?? 1 , 所以 ln x是 的一个原函数 . ? ? 解 由于 ln x x x 1 ? dx ?ln x?C x 二、不定积分的几何意义: f ( x) 的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线 . ? f(x )d x 的图形 f ( x) 的所有积分曲线组成 y 的*行曲线族. o x0 x 例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: ?? ?y 2 x ? y? x d x?x ? C ?2 2 y 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 2 2? 1 ? C (1, 2) ?C ? 1 因此所求曲线为 y ? x2 ?1 o x 三、不定积分的性质 性质 1 . 求不定积分与求导数或 微分互为逆运算 . ? ? ?? ( 1 ) ( x ) dx f ( x ) ?f ? ? 或 d f ( x ) dx ? f ( x ) dx ? ? ( 2 ) F ( x ) dx ? F ( x ) ? C 或 dF ( x ) ? F ( x ) ? C ? ? 由此可见 , 微分运算 ( d ) 与 ( 不定 ) 积分运 ( ? ) 是互 , 当记号 ? 与记号 d 连在一起时 , 或者抵消 , 或者 后差一个常数 . 性质 2 非零常数因子可提到积 分号之前 . ? af ( x ) dx ? a f ( x ) dx ( a ? 0 ) ? 性质 3函数和 ( 差 ) 的积分等于积分的和 ( 差 ). ? ? f ( x ) ? g ( x ) dx ? f ( x ) dx ? g ( x ) dx ? ? ? a f ( x ) ? a f ( x ) ? ? ? a f ( x ) ? 1 1 2 2 n n 性质 4有限个函数线性组合的 积分等于积分 合 . ? a f ( x ) dx ? a f ( x ) dx ? ? ? a f ( x ) dx ? ? ? 1 1 2 2 n n ? ? 例4 求下列不定积分 : 2? ? ( 1 ) ??x? ? d x; x ? ? 3 ( 2 )? ( x ? 1 ) d x . 2 解 4 ? 2 ? 2 ? ? ?x ? 4 ? 2 (1) 由于 ?x x ? x ? 2 2 d x x 4 2 原式 ? x d x ? 4 d x ? 4 ? 4 x? ? C . 2? ? ? ? x 3 x 4 3 (2) 由于 d ( x ? 1 ) ? 4 ( x ? 1 ) d x 1 4 1 4 原式 ?? d ( x ?



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